פתרון בגרות 2019 מועד חורףהנדסה אנליטית 572 · שיעור 50
הנדסה אנליטית · 5 יחידות · שאלון 572
שיעור 50: פתרון בגרות 2019 מועד חורף
פרק 4: תרגול בגרויות 481-4 יחידות
1🔵 סעיף א: משוואת הישר BM (משיק ⊥ רדיוס)
2🟢 סעיף ב: משוואת המעגל – המרכז M כחיתוך הישרים BM ו־OM
3🟣 סעיף ג: שטח המשולש OBC
4🔷 סעיף ד: מרכז המעגל הנוסף – בתוך המעגל, עליו או מחוצה לו?
📄 נוסח השאלה
בציור שלפניך נתון מעגל שמרכזו M. ישר העובר בראשית הצירים משיק למעגל בנקודה B(3,4). חיברו את מרכז המעגל, M, עם ראשית הצירים, O. נתון: משוואת הישר OM היא y=17x.
א. מצא את משוואת הישר BM.
ב. מצא את משוואת המעגל.
ג. המשך הקטע BM חותך את המעגל בנקודה C. מצא את שטח המשולש OBC.
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. העבירו מעגל נוסף כך ש־OM הוא קוטר שלו. האם המרכז של המעגל הנוסף נמצא בתוך המעגל שמרכזו M, עליו או מחוצה לו? נמק ופרט את חישוביך.
🔵 סעיף א: משוואת הישר BM (משיק ⊥ רדיוס)
מצא את משוואת הישר BM.
סדר הפעולות: ① מציאת שיפוע OB ② שיפוע BM ③ משוואת BM.
בין משיק לרדיוס יש 90°: OB משיק ו־BM רדיוס.
B(3,4)=(x₁,y₁)
O(0,0)=(x₂,y₂)
mOB=0−40−3=43
הופכי ונגדי:
mBM=−34
y−y₁=m(x−x₁)
y−4=−34(x−3)
y−4=−34x+94
🔵 סעיף א: משוואת הישר BM (משיק ⊥ רדיוס) · המשך
y−4=−34x+94
y=−34x+94+4
✅ y=−34x+614
🟢 סעיף ב: משוואת המעגל – המרכז M כחיתוך הישרים BM ו־OM
מצא את משוואת המעגל.
M נמצאת גם על BM וגם על OM ← משווים:
−34x+614=17x
−3x4+254=x7 /·28
−21x+175=4x
175=25x /:25
x=7
y=17·7=1
M=(7,1)
מציבים את B במשוואת המעגל כדי למצוא R²:
(3−7)²+(4−1)²=R²
🟢 סעיף ב: משוואת המעגל – המרכז M כחיתוך הישרים BM ו־OM · המשך
(3−7)²+(4−1)²=R²
16+9=R²
R²=25 ← R=5
✅ (x−7)²+(y−1)²=25
🟣 סעיף ג: שטח המשולש OBC
המשך הקטע BM חותך את המעגל בנקודה C. מצא את שטח המשולש OBC.
∢OBC=90° (משיק ⊥ רדיוס), לכן משולש ישר זווית:
S=OB·BC2
BC קוטר:
BC=2R=2·5=10
O(0,0)=(x₁,y₁)
B(3,4)=(x₂,y₂)
OB=√(3−0)²+(4−0)²
OB=√9+16=√25=5
S=5·2·52=5·5
✅ S=25
🔷 סעיף ד: מרכז המעגל הנוסף – בתוך המעגל, עליו או מחוצה לו?
העבירו מעגל נוסף כך ש־OM הוא קוטר שלו. האם המרכז של המעגל הנוסף נמצא בתוך המעגל שמרכזו M, עליו או מחוצה לו? נמק ופרט את חישוביך.
מרכז המעגל הנוסף הוא אמצע OM. המרחק שלו מ־M הוא הרדיוס של המעגל הנוסף, r.
אם r קטן מ־5 (הרדיוס של המעגל הנתון) – המרכז בתוך המעגל.
O(0,0)=(x₁,y₁)
M(7,1)=(x₂,y₂)
OM=√(7−0)²+(1−0)²=√50
OM קוטר ← חוצים ב־2:
r=√502≈3.54
3.54<5
✅ המרכז של המעגל הנוסף נמצא בתוך המעגל הנתון
✅ סיימנו!
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא